Les professionnels du droit confrontés aux mathématiques financières : appréhension de l’année lombarde

1. Les intérêts sont payés par l’emprunteur au créancier en rémunération d’une somme prêtée. Ils sont calculés sur les sommes dues en fonction du taux conventionnel fixé sur une base de calcul déterminée. La base de calcul et le taux conventionnel déterminent donc le montant des intérêts dus. Aussi, à taux conventionnel identique, le calcul des intérêts diffère en fonction de la base de calcul utilisée. Cette dernière ne peut être autre que celle de l’année civile.

La base de calcul du TEG1 est en revanche plus complexe à appréhender. En effet, un TEG n’est pas fixé mais calculé à partir d’une équation polynomiale ; il résulte d’une actualisation des flux versés à l’emprunteur et payés par l’emprunteur au titre du prêt. Actualiser ces flux consiste à donner à la date de prêt, une valeur d’un flux reçu ou payé en période n. Cette valeur en date de prêt doit être déterminée en actualisant ce flux sur l’année civile et non sur l’année lombarde.

Ainsi, si l’intérêt est calculé sur 360 jours mais que ce flux d’intérêt est actualisé sur l’année civile, alors le TEG est réputé être calculé sur l’année civile. Cette actualisation des flux sur l’année civile permet en quelque sorte de « rebaser » sur l’année civile, le flux d’intérêt calculé sur l’année lombarde. De même, un intérêt calculé sur l’année civile peut être actualisé sur une année lombarde. Le TEG aura alors pour base l’année lombarde alors que l’intérêt est calculé sur l’année civile. Ceci implique que les problématiques mathématiques de TEG doivent être traitées de façon distincte de celles du taux d’intérêt2.

2. Le Code de la consommation stipule que le TEG doit être calculé sur l’année civile. Celle-ci compte 365 ou 366 jours. Par ailleurs, l’annexe au Code de la consommation précise pour l’actualisation des flux du TEG par la méthode d’équivalence (et non pour le calcul des flux dont les flux d’intérêts3) que « l’écart entre les dates utilisées pour le calcul est exprimé en années ou en fraction d’années. Une année compte 365 jours, ou, pour les années bissextiles, 366 jours, 52 semaines ou 12 mois normalisés. Un mois normalisé compte 30,41666 jours (c’est-à-dire 365/12), que l’année soit bissextile ou non ». Aussi, qu’il s’agisse d’un TEG par la méthode proportionnelle ou par la méthode d’équivalence, le professionnel du droit devra donc vérifier si l’équation polynomiale d’actualisation des flux est bien réalisée sur l’année civile en s’assurant notamment qu’un éventuel taux conventionnel sur 360 jours a été « rebasé » sur l’année civile. Ceci devra être réalisé par une expertise mathématique.

3. La mise en évidence de la base de calcul des intérêts est autre. En préambule, il est rappelé que la seule base de calcul internationale4 des intérêts sur l’année civile est un calcul en jours exacts sur 365 ou 366 jours, le mois normalisé ne figurant pas dans ces bases de calcul des intérêts.

Par ailleurs, le taux légal avec lequel le taux conventionnel est comparé – article 1907 du Code civil –, est exprimé en jours exacts sur l’année civile. Pour confronter ces deux taux, ceux-ci doivent être exprimés sur la même base, soit selon un nombre de jours exacts sur l’année civile. Ainsi, mathématiquement parlant, seule cette base devrait être reprise pour le calcul des intérêts des prêts immobiliers, l’utilisation de toute autre base empêchant la comparaison avec le taux légal. C’est ainsi que cette base de calcul en jours exacts sur l’année civile est utilisée par différents prêteurs pour le calcul des intérêts des prêts immobiliers à mensualité constante (avant et après l’entrée en vigueur de la directive)5.

4. Le mois normalisé a été introduit mathématiquement dans le Code de la consommation pour l’actualisation des flux du TEG calculé par la méthode d’équivalence et non pour le calcul des flux dont les flux d’intérêts6. Ce douzième d’année civile n’est donc mathématiquement pas recevable pour les intérêts, laissant pour unique base permettant ces calculs, celle établie selon un nombre de jours exacts sur l’année civile, base aisément vérifiable par le professionnel du droit à partir du tableau d’amortissement définitif de l’emprunt.

Cependant, malgré ces éléments mathématiques7, de nombreux jugements admettent en droit le mois normalisé comme admissible pour le calcul des intérêts. Sous cette hypothèse, le professionnel du droit devra donc vérifier que le douzième d’année utilisé par le prêteur pour le calcul des intérêts est civil et non lombard.

Arrêtons-nous pour cela sur certains arrêts pouvant apparaître comme contradictoires : en date du 12 janvier 2017, la cour d’appel de Paris8 précise que « la stipulation concernant le taux conventionnel vise une période de 360 jours, et se trouve ainsi frappée de nullité peu important que la banque soutienne l’absence de surcoût d’intérêts ou l’équivalence des calculs ». Le lendemain, la cour d’appel de Paris9 rend un arrêt opposé : « Considérant néanmoins que le calcul des intérêts sur la base d’une année lombarde rapportée à 30 jours revient arithmétiquement à un résultat équivalent au calcul des intérêts effectué sur la base d’une année civile rapportée au mois normalisé ». Existe-t-il ainsi une équivalence d’intérêts calculés selon un douzième d’année civile ou selon un douzième d’année lombarde ? La réponse par l’affirmative n’est pas recevable en mathématique.

5. Des différences certaines existent entre ces deux douzièmes d’années. Ainsi, lorsque les échéances ne portent pas sur un mois entier, soit lors d’une échéance brisée10, les intérêts sont calculés sur le diviseur pris comme base de calcul de référence par le prêteur. En effet, la définition même de la base de calcul en 360 jours selon un mois de 30 jours impose un calcul des échéances brisées en retenant le nombre de jours de la période rapporté à 360 jours. En revanche, l’annexe au Code de la consommation stipule dans l’exemple 5 bis (ancien) que « les écarts entre les dates peuvent être mesurés soit en rapportant le nombre exact de jours de cette période à 365, soit en fraction entière d’année pour la partie bornée par des quantièmes mensuels identiques laquelle on ajoute ou soustrait le nombre de jours rapportés à 365 », écarts de dates repris à l’identique dans la nouvelle rédaction du Code de la consommation.

Ainsi, si la base de calcul retenue en droit pour le calcul des intérêts est un douzième d’année civile, alors les intérêts des échéances brisées seront calculés en jours exacts sur l’année civile11, si la base de calcul retenue par le prêteur est un douzième d’année lombarde alors les intérêts des échéances brisées seront calculés en jours exacts sur l’année lombarde. L’année de référence du prêteur se met en évidence, lorsqu’elle n’est pas stipulée sur l’offre de prêt, en étudiant les intérêts des échéances brisées.

Il est rappelé que ces échéances brisées auront un impact sur l’échéancier dans sa globalité. En effet, le capital restant dû de chaque échéance garde « en mémoire » les intérêts des échéances passées, en impactant le montant des intérêts calculés pour les échéances postérieures en ce qu’ils se répercutent sur le calcul de la part d’amortissement du crédit à chaque échéance12.

6. L’utilisation de l’année lombarde entraîne donc nécessairement une différence de diviseur utilisé par le prêteur avec celui de l’année civile. L’impact mathématique sera mis en évidence lors de l’apparition de la première échéance brisée. Il sera ainsi remarqué que si le professionnel du droit s’impose de mettre en évidence mathématiquement une année lombarde alors que celle-ci est stipulée sur l’offre de prêt et ce alors que l’emprunteur n’a pour l’heure rencontré aucune échéance brisée, alors nécessairement, ce premier conclura à une équivalence des bases de calcul. En effet, les intérêts calculés en douzième d’année sont toujours égaux à des intérêts calculés en douzième d’année sur une échéance portant sur un douzième d’année… que l’année soit de 365 jours ou de 360 jours lorsqu’il n’y a pas eu d’échéance brisée au préalable13.

Mais la différence entre ces bases existe et pourrait apparaître sur des échéances brisées rencontrées plus de 5 ans après la signature de l’offre de prêt14. Une action sur le fondement de la base de 360 jours démontrée alors mathématiquement, risquerait d’être prescrite puisque l’erreur pourrait être qualifiée d’apparente en raison d’une mention de la base inscrite sur l’offre de prêt15.

7. Des développements peuvent être présentés sous une apparence simpliste pour permettre des « dissimulations » mathématiques : le « jour normalisé » en est la parfaite illustration.

Les démonstrations portant sur un mois normalisé s’accompagnent souvent de l’introduction d’un « jour normalisé ». Ce jour repris dans certains arrêts est un jour ayant une valeur unitaire de 1,038887 jours, égal à un jour de l’année civile d’une valeur unitaire de 1 multiplié par 365 et divisé par 360, ou encore si l’on simplifie chaque terme par 12, un jour d’une valeur d’un mois normalisé (30,41666) divisé par 3016. À titre d’illustration, la cour d’appel de Paris17 retient que les intérêts calculés durant 13 jours sur 360 jours sont identiques à des intérêts calculés durant 13 « jours normalisés » sur 365 jours18, écartant ainsi l’utilisation de l’année lombarde prohibée ou l’utilisation d’un taux de 4,055 % au lieu de 4 % rapporté à 365 jours.

Il est rappelé qu’en mathématique financière ce jour normalisé n’existe pas. En effet, chaque jour de l’année civile a une valeur unitaire de 1 (365 jours valent 365 jours d’une valeur de 1) et non une valeur unitaire de 1,038887 jours. Par ailleurs, comme précisé précédemment, l’annexe au Code de la consommation dans l’exemple 5 bis – ancien – et dans sa nouvelle rédaction, si elle reprend le mois normalisé pour les parties bornées par les quantièmes mensuels, stipule que les écarts entre les dates non comprises dans les parties bornées doivent être mesurés en rapportant le nombre exact de jours de cette période à 365, soit en jours exacts d’une valeur unitaire de 1 rapporté à 365 jours. Les 15 jours repris dans l’annexe séparant le 15 septembre du 30 septembre courant sur un mois de 30 jours sont pris égaux à 15 jours (jours calendaires exacts entre les deux dates) et non selon un nombre de jours exacts multiplié par 30,41666 et divisé par 30 qui ferait 15,21 jours19 rapporté à 365 jours.

Aussi, le fait d’utiliser le mois normalisé ne justifie pas le fait d’affecter aux nombres de jours une valeur unitaire de 1,0138887 jours. Alors, pourquoi ce jour « normalisé » apparaît-il dans certains arrêts ?

8. Un taux d’intérêt exprimé en base de 360 jours sera « rebasé » sur une base de 365 jours en lui appliquant le facteur 365/360 jours ou encore en simplifiant par douze en lui affectant le facteur de 30,41666/30. C’est ainsi qu’un taux de 4 % exprimé en base de 360 jours20 produira les mêmes intérêts qu’un taux de 4 %*365/360 ou encore de 4 %*30,41666/30 égal à 4,055 % en base de 365 jours.

Nous noterons par ailleurs que le rapport de 365/360 = 30,41666/30 = 1,0138887, est le rapport repris pour définir le « jour normalisé ». Reprenons l’exemple des 13 jours au taux de 4 % du dernier arrêt cité. Si l’année civile avait été utilisée, que les intérêts soient calculés sur une base de jours exacts sur l’année civile ou selon un mois normalisé (à supposer qu’il s’applique en droit au calcul des intérêts), alors sur une durée de 13 jours calendaires, les intérêts auraient dû être calculés ainsi : CRD*13*4 %/365. En revanche, les intérêts de cette échéance calculés sur 360 jours sont CRD*13*4 %/360, encore égal à CRD*13*4,055 %/365. Appliquer un taux de 4 % sur 360 jours revient à appliquer un taux de 4,055 % sur 365 jours sur cette échéance.

Pour faire disparaître ce diviseur de 360 jours de l’équation CRD*13*4 %/360, il suffit d’appliquer au nombre de jours, le rapport de 365/360 ou encore en simplifiant par douze, le rapport d’un mois normalisé divisé par 30. Ainsi, les 13 jours deviennent 13*365/360 égaux à 13*30,41666/30 égaux à 13,18055 jours et l’équation des intérêts de CRD*13*4 %/360 devient CRD*13,18055*4 %/365. Le diviseur de 360 jours a disparu de l’équation mais pour autant les intérêts facturés ne sont pas égaux aux intérêts calculés sur l’année civile (CRD*13*4 %/365) mais bien égaux aux intérêts calculés sur 360 jours (CRD*13*4 %/360).

Ainsi, le « jour normalisé » permet de dissimuler un diviseur autre que l’année civile. Pour bien comprendre ce mécanisme, supposons que le prêteur calcule des intérêts selon une année de 300 jours soit 12 mois de 25 jours. Les intérêts des échéances brisées calculés sur 300 jours seraient CRD*4 %*13/300. Pour faire disparaître ce diviseur de 300 jours, un jour normalisé d’une valeur de 30,41666/25 (égal à 1,216667) serait présenté. Chaque jour n’aurait pas une valeur unitaire de 1 mais une valeur unitaire de 1,216667 jours : 13 jours vaudraient 15,81666 jours21 : ainsi l’équation CRD*4 %*13/300 serait égale (en multipliant chaque terme par 365 puis en simplifiant par douze) à CRD*4 %*13*(30,41666/25)/365 encore égale à CRD*4 %*15,81666/365. Le diviseur de 300 jours a disparu de l’équation laissant la place au diviseur de 365 jours et ce alors que les intérêts n’ont pas été calculés sur 365 jours mais bien sur 300 jours22.

Le raisonnement est strictement identique sur une base de 360 jours (12 mois de 30 jours), le jour « normalisé » aura une valeur de 365/360 = 30,41666/30 = 1,0138887 ou sur une base de 240 jours (12 mois de 20 jours), le « jour normalisé » aura une valeur de 365/240 = 30,41666/20 = 1,52083… Et permettra de dissimuler une base autre que celle de l’année civile.

9. En conclusion, il doit être fait une distinction entre la base de calcul du TEG et celle du taux conventionnel, ces deux bases étant sans lien. Ainsi, un TEG calculé sur 360 jours n’est pas la résultante d’un calcul d’intérêts sur 360 jours. Un TEG peut être calculé sur 365 jours tout en ayant des flux d’intérêts calculés sur 360 jours. La base de calcul du TEG est appréciée en s’attachant à l’actualisation des flux prévisionnels – soit hors échéances brisées puisque généralement inconnues lors de l’édition de l’offre de prêt.

La mise en évidence de la base de calcul des intérêts est autre. En théorie, seule la base de calcul en jours exacts sur l’année civile est recevable, seule base internationale de calcul des intérêts et seule base permettant à l’emprunteur de comparer comme l’impose le Code civil, le taux conventionnel avec le taux légal. Cependant, malgré ces éléments de mathématiques financières, le droit peut parfois accepter le douzième d’année civile pour ces calculs. Mais, ne vous y trompez pas : un douzième d’année civile n’est pas égal à un douzième d’année lombarde. Ainsi, sauf à ce que la lecture de l’offre de prêt informe le consommateur de la base utilisée pour le calcul des intérêts, l’étude des échéances brisées mettra en évidence l’année de référence du prêteur qui sera alors la solution unique des équations polynomiales du capital restant dû de toutes les échéances de l’emprunt, assiette de calcul des intérêts à venir.