Le choix du candidat à l’élection présidentielle à l’épreuve des mathématiques

Publié le 16/03/2017

Par sa familiarité et sa simplicité, le scrutin majoritaire à deux tours – utilisé pour l’élection des députés, pour celle du président de la République ainsi que pour les primaires organisées en 2011, 2016 et 2017 en vue de l’élection du chef de l’État – nous paraît aller de soi. Traduit-il pour autant, au moins approximativement, la volonté des électeurs ? La réponse est que, s’il le fait dans certains cas (disons : petit nombre de candidats, orientations et programmes fortement polarisés le long d’une dimension unique du type droite/gauche), il n’y parvient pas dans diverses autres hypothèses (nombre de candidats élevé, espace des représentations politiques multidimensionnel).

Or ces hypothèses sont justement celles de l’offre comme de la demande contemporaines en matière politique. Il est en effet patent, par exemple, que les idées sur les questions régaliennes (sécurité vs libertés publiques, ouverture aux migrants vs contrôle des frontières, intégration européenne vs souveraineté nationale) ne sont plus en lien nécessaire avec celles relatives aux responsabilités sociales et économiques de l’État (libéralisme vs interventionnisme, responsabilité individuelle vs État providence, flexibilité du marché du travail vs protection des travailleurs et encadrement des relations professionnelles…). Il suffit de rapprocher, pour s’en convaincre, les discours d’Emmanuel Macron et de Marine Le Pen.

Ces deux dimensions (questions régaliennes et questions socio-économiques) sont indépendantes l’une de l’autre, « orthogonales » comme disent les mathématiciens. Il y a des libéraux sécuritaires, des interventionnistes sécuritaires, des libéraux « droits de l’hommistes » et des interventionnistes « droits de l’hommistes ». Si bien qu’à s’en tenir à ces seules deux dimensions, ce n’est pas sur un axe mais dans un plan, avec ses quatre quadrants, qu’on devra positionner les sensibilités politiques de façon significative, c’est-à-dire rendant compte des proximités et des oppositions (autant entre électeurs et candidats qu’entre électeurs et entre candidats).

Ce serait un graphique à quatre dimensions dont on aurait besoin s’il s’avérait que les questions sociétales et les questions environnementales étaient, dans cet espace des représentations politiques, également indépendantes entre elles et des deux précédentes. Les convictions variant d’un électeur à l’autre selon plusieurs axes non corrélés entre eux (domaine régalien, environnement, questions socio-économiques, etc.), les distances entre candidats et entre électeurs et candidats ne pourront s’inscrire sur un axe unique.

Cette multidimensionnalité sera encore accrue par l’importance donnée à la personnalité du candidat et par la perception qu’auront les électeurs des différentes composantes des « tempéraments » en présence (stature présidentielle vs proximité, autorité vs empathie, cohérence vs empirisme, audace vs prudence, réalisme vs rigueur morale, etc.), sans oublier la susceptibilité diverse de l’électorat aux péripéties médiatiques ou judiciaires pouvant affecter l’image d’un candidat.

Joue enfin dans ce sens la fragmentation d’un électorat dont les motivations, nous dit Luc Rouban (Le Figaro, 8 févr. 2017), sont à trouver, davantage que dans une appartenance de classe (patrimoine, niveau d’études, statut socio-professionnel), « dans une combinaison complexe de variables liées à la vie individuelle : choix des valeurs, ressources culturelles, religion, génération ». Le vote devient ainsi un auto-positionnement existentiel, fruit d’un compromis entre divers aspects de la conscience personnelle. Il s’agit d’un « vote privatif », d’un choix d’identité, qui ne tend pas nécessairement à la victoire de tel ou tel…

Le mode de scrutin présidentiel actuel est inadapté à cette variabilité pour une raison majeure : il ne prend en compte, au premier tour, que le premier choix de chaque électeur.

On peut avoir une première intuition de cette inadaptation en imaginant qu’un candidat est classé deuxième par tous les électeurs et que les choix de ceux-ci sont contrastés pour tous les autres candidats (un candidat bien classé par une partie du corps électoral étant mal classé par l’autre partie). Dans un tel cas de figure, le candidat classé deuxième n’obtiendrait aucune voix au premier tour et serait donc éliminé de la compétition, alors qu’il serait préféré par la majorité des électeurs à chacun des autres candidats…

Nous nous proposons d’illustrer plus précisément le mécanisme de ce paradoxe en décortiquant un exemple qui, pour être fictif, n’a rien d’un cas d’école et n’est pas sans rapport avec l’élection présidentielle de 2002. Nous évoquerons ensuite un des remèdes trouvés jusqu’ici pour se prémunir contre ce type de paradoxe : la méthode de Borda, en montrant qu’elle n’est pas non plus exempte d’effets paradoxaux.

En matière d’agrégation des choix individuels, problème central de la démocratie, le paradoxe est en effet inexorable. Mais il peut être limité.

I – Le paradoxe du « second tour non désiré »

Soit un scrutin uninominal majoritaire à deux tours, une élection présidentielle sous la Ve République par exemple. Par « second tour non désiré », on entendra une situation dans laquelle un candidat éliminé au premier tour est pourtant majoritairement préféré à l’un des deux candidats du second tour, voire aux deux.

A – Une telle situation est-elle possible ?

Elle l’est en effet. Nous pensons qu’elle s’est même produite en 2002.

Toutefois, comme nous ne pouvons le démontrer pour le scrutin de 2002 (étant dans l’incapacité de savoir comment chacun des électeurs classait les candidats dans son for intérieur en avril 2002), nous conduirons notre démonstration sur l’exemple qui suit. Sa compréhension – rassurons le lecteur que rebute la chose mathématique – ne fait appel qu’à des connaissances d’arithmétique élémentaire.

Ordre de préférence

Nombre d’électeurs souscrivant à cet ordre de préférence

Sous-total des « premiers choix »

A > B > C

5

A classé premier : 6 électeurs

A > C > B

1

B > C > A

3

B classé premier : 4 électeurs

B > A > C

1

C > A > B

1

C classé premier : 5 électeurs

C > B > A

4

Hypothèses : 3 candidats (A, B, C) et 15 électeurs

Ainsi :

  • cinq électeurs préfèrent A à B et B à C ;

  • un électeur préfère A à C et C à B ;

  • trois électeurs préfèrent B à C et C à A ;

  • un électeur préfère B à A et A à C ;

  • un électeur préfère C à A et A à B ;

  • quatre électeurs préfèrent C à B et B à A.

On suppose que les préférences des électeurs sont stables d’un tour à l’autre.

Le candidat B est éliminé dès le premier tour, car arrivé en troisième position (4 votes pour B, contre 6 pour A et 5 pour C).

Que se passe-t-il au second tour ?

Celui-ci voit s’affronter A et C. C bat A au second tour, car 8 électeurs préfèrent C à A (contre 7 qui font le choix inverse).

Le candidat C est donc proclamé élu. Or :

  • B est préféré à A par 8 voix contre 7 ;

  • B est préféré à C (pourtant vainqueur de l’élection) par une majorité plus forte encore : 9 voix contre 6.

Autrement dit, la majorité des électeurs préfère un candidat battu au premier tour (B) à chacun des deux candidats restés en lice au second tour (A et C).

Sans avoir fait d’hypothèses extravagantes, nous nous trouvons bel et bien en présence d’un « second tour non désiré ».

Un candidat battu au premier tour est préféré par une majorité d’électeurs à chacun des deux candidats du second tour. Il est le « préféré latent » des électeurs, mais le mode de scrutin ne l’a pas reconnu.

Pour sa part, le candidat élu (C) n’a pas été le mieux placé au premier tour et un candidat battu au premier tour (B) lui serait préféré par le corps électoral en cas de duel…

Le candidat C est-il alors l’élu du peuple ?

Juridiquement sans doute, mais est-ce encore vrai au regard de la volonté des électeurs ? Il apparaît que le choix de B serait bien plus conforme à cette volonté, puisque la préférence donnée à B sur A serait ratifiée par une majorité d’électeurs et qu’il en serait de même de la préférence donnée à B sur C. Le choix de B, tant contre A que contre C, n’inspirerait donc pas de désapprobation majoritaire a posteriori. B est, selon ce critère, le « préféré latent » de l’électorat (ou « vainqueur de Condorcet »). Problème : il n’est pas élu.

B – Ces effets paradoxaux tiennent, pour une large part, à ce que l’électeur ne glisse dans l’urne, au premier tour, que son « premier choix »

Le mode de scrutin est parfaitement indifférent à la manière dont l’électeur classe les candidats autres que celui qu’il situe au premier rang de ses préférences. Cette information, pourtant cruciale, est ignorée de la procédure.

Il y a plus grave : les calculs montrent que les conséquences déroutantes d’un tel système sont accentuées par la dispersion des voix au premier tour entre un nombre plus élevé de candidats.

L’exemple donné ci-dessus ne porte que sur trois candidats et il produit déjà des conséquences troublantes. Or la probabilité d’un « second tour non désiré » (au sens objectif défini plus haut) croît plus que proportionnellement au nombre de candidats et s’accentue avec la variabilité des préférences au sein du corps électoral.

Ce ne sont pas les sondages qui « inventent » de telles aberrations, comme l’ont exposé péremptoirement certains commentateurs1, mais le système électoral adopté en France pour la désignation du chef de l’État qui est lourd d’effets pervers.

La légèreté2 avec laquelle le milieu politico-médiatique français a longtemps compris le premier tour de l’élection présidentielle (un vaste forum où toutes les sensibilités devraient pouvoir se compter ; au premier tour on choisit, au second on élimine) a été prise au dépourvu par de telles anomalies.

Le paradoxe du « second tour non désiré » a cependant été ressenti intuitivement par nos concitoyens. En fait foi l’abondant courrier reçu par le Conseil constitutionnel au lendemain du premier tour de l’élection présidentielle de 2002, courrier dont les auteurs estimaient – de façon confuse, mais non sans raison – avoir été « floués ».

C – Comment éviter cet effet pervers ?

1 – On peut d’abord penser à diminuer le nombre de candidats

Le scrutin présidentiel sert à désigner une personnalité ayant les capacités requises pour exercer la fonction de président de la République. C’est déjà beaucoup en attendre. Peut-on lui demander en plus de constituer, par son premier tour, une sorte de sondage en vraie grandeur de l’influence des divers courants de pensées et d’opinions qui agitent ou parcourent l’opinion publique, y compris de ceux qui n’ont aucune vocation à diriger la nation (que ce soit en raison de leurs orientations purement catégorielles, de leurs visées fantaisistes, de leur culture non gouvernementale ou de leur vocation tribunicienne) ?

C’est la raison pour laquelle, dans ses observations publiques, le Conseil constitutionnel a suggéré à plusieurs reprises de restreindre le nombre de candidats au premier tour en durcissant la procédure des parrainages.

À « mode de scrutin constant », cela peut se faire par deux voies :

  • une voie purement administrative (limitation de la période de recueil des parrainages, portée à trois semaines en 2007. Il suffirait de publier le décret de convocation une semaine plus tard3) ;

  • une voie législative (loi organique) :

    • augmentation du nombre des parrainages requis, comme en 1976,

    • suppression, dans la liste dressée par la loi de 1962, de certaines catégories d’« élus habilités »,

    • recueil de parrainages « citoyens », comme préconisé par la commission de rénovation et de déontologie de la vie publique en novembre 2012 (proposition n° 1), à condition de fixer le nombre minimal de signatures à un niveau suffisant (150 000 ?) et en en contrôlant effectivement l’authenticité (ce qui est une autre paire de manches).

Plus modestement, en prévoyant que les parrainages seront désormais « adressés au Conseil constitutionnel par leur auteur par voie postale, dans une enveloppe prévue à cet effet, ou par voie électronique » (et ne pourront donc plus être, comme par le passé, collectés et déposés au Conseil par l’équipe de campagne de chaque candidat) et que, « au fur et à mesure de la réception des présentations, le Conseil constitutionnel rend publics, au moins deux fois par semaine, le nom et la qualité des citoyens qui ont valablement présenté des candidats (…) Huit jours au moins avant le premier tour de scrutin, le Conseil constitutionnel rend publics le nom et la qualité des citoyens qui ont valablement proposé les candidats » (alors que la publication des noms des parraineurs se faisait dans la limite de 500 présentations par candidat et à la fin de la période de recueil des parrainages), la loi organique n° 2016-506 du 25 avril 2016 de modernisation des règles applicables à l’élection présidentielle rendra sans doute un peu plus difficile aux « petits candidats » de rassembler des signatures. Ces changements réduiront-ils, fût-ce de façon marginale, le nombre de candidats ?

2 – D’autres solutions, plus ambitieuses, ont été préconisées en vue de concilier deux objectifs aujourd’hui inconciliables (Ouverture du premier tour et rationalité de la procédure retenue pour agréger les préférences individuelles)

a. Le système à trois tours proposé notamment par Guy Carcassonne qui, sur ces questions comme sur tant d’autres, avait encore tant à nous dire. Au deuxième tour sont en compétition les trois candidats les mieux classés du premier tour. C’est un système plus « lisible » pour les citoyens, plus respectueux du pluralisme, mais aussi plus lourd à organiser.

b. Un seul tour assorti du recueil du classement de tous les candidats par chaque électeur. Un mode d’agrégation des préférences individuelles rationnelles, et même, dans une certaine mesure, optimal (dire en quoi nous entraînerait trop loin dans les mathématiques du choix collectif), est la méthode de Borda. Si un électeur classe les candidats dans l’ordre A, B, C, D…, le candidat A recevra 1 au titre de cet électeur, B recevra 2, C recevra 3 etc. Ayant sommé les rangs pour tous les électeurs, le candidat qui obtient le plus faible total est vainqueur4.

Cette méthode (dont l’énoncé devrait être affiné pout tenir compte des omissions et des candidats classés ex æquo) est d’origine ancienne (elle aurait été utilisée par le Sénat romain).

Aujourd’hui couramment pratiquée pour décerner des prix sportifs aux États-Unis5, elle doit son nom au chevalier Jean-Charles de Borda (Dax, 4 mai 1733 ; Paris, 19 février 1799), mathématicien, physicien, politologue et navigateur français, qui l’a étudiée en 1770.

La méthode de Borda serait certes plus complexe que le mode de scrutin actuel et bouleverserait les habitudes. Elle supposerait en particulier une automatisation des bureaux de vote (ou un vote par internet), ce qui pose le problème de la confiance du corps électoral.

En contrepartie, elle traduirait mieux les préférences de celui-ci et serait moins consommatrice de deniers publics (un seul tour, pas de dépouillement manuel), surtout si le vote est rendu possible par internet. Comme toutes les méthodes d’agrégation, elle n’est pas exempte de paradoxes, on va le montrer.

Il est vrai aussi que la méthode de Borda offre prise à des comportements électoraux non sincères ou « stratégiques » (pour avantager mon candidat favori ou éviter le candidat que je désapprouve le plus, je triche sur ma véritable échelle de préférence, compte tenu de ce que je sais ou crois savoir des préférences des autres électeurs, notamment au vu des sondages). Toutefois, ces « votes stratégiques » sont moins probables dans un corps électoral nombreux et divers et, en tout état de cause, ils n’affectent pas que la méthode de Borda et existent déjà aujourd’hui sous la forme du « vote utile ».

II – La méthode de Borda traduit mieux la volonté des électeurs que l’actuel mode de scrutin présidentiel, mais elle n’est pas non plus immune de paradoxes

La règle de Borda permet d’établir un classement collectif à partir des préférences individuelles « complètes », c’est-à-dire sans négliger les deuxième, troisième, quatrième, etc. choix de chaque électeur.

A – Prenons l’exemple de quatre candidats (A, B, C, D) et cinq votants

On commence par recueillir les ordres de préférence à bulletins secrets : chaque votant indique sur son bulletin l’ordre de ses préférences entre A, B, C et D. Puis on dépouille.

Pour chaque votant, ainsi qu’il a été dit plus haut, le candidat préféré se voit affecter le rang 1, le suivant le rang 2, etc.

Puis on calcule le rang moyen de chaque candidat :

Votant 1 : A > B > C > D, soit : 1 pour A, 2 pour B, 3 pour C et 4 pour D.

Votant 2 : D > A > B > C, soit : 2 pour A, 3 pour B, 4 pour C et 1 pour D.

Votant 3 : C > A > B > D, soit : 2 pour A, 3 pour B, 1 pour C et 4 pour D.

Votant 4 : C > A > B > D, soit : 2 pour A, 3 pour B, 1 pour C et 4 pour D (comme le votant 3).

Votant 5 : C > A > D > B, soit : 2 pour A, 4 pour B, 1 pour C et 3 pour D.

Ce qui permet de classer ainsi les candidats en lice :

Rang moyen A = (1+2+2+2+2)/5=9/5=1,8.

Rang moyen B = (2+3+3+3+4)/5=15/5=3.

Rang moyen C = (3+4+1+1+1)/5=10/5=2.

Rang moyen D = (4+1+4+4+3)/5=16/5=3,2.

La collectivité a donc classé comme suit les quatre candidats : A (1,8), puis C (2), puis B (3), enfin D (3,2).

Soit A, puis C, puis B, enfin D.

A l’emporte.

Le mode de scrutin présidentiel actuel, pour sa part, aurait désigné C sans second tour, car C aurait recueilli la majorité absolue dès le premier tour (3 votants sur 5 ont C pour premier choix).

B – Appliquée à notre premier exemple (v. infra I. A.), la méthode de Borda donne la préférence à B (rang moyen 1,9). A et C arrivent ex æquo (même rang moyen 2,1) derrière B

Le préféré latent B (car il était majoritairement préféré à chacun des deux autres candidats) est donc distingué, en l’espèce, par la méthode de Borda, alors que cette préférence majoritaire « pour B plutôt que A et pour B plutôt que C » était ignorée, écrasée, par le mode de scrutin présidentiel actuel.

C – Malgré ses avantages, la méthode de Borda recèle aussi des paradoxes

Pour reprendre l’exemple ci-dessus à cinq électeurs et quatre candidats (II. A.), supposons que le candidat B se désiste ou soit empêché. Il doit donc s’effacer de la compétition.

On s’attendrait à ce que la méthode de Borda, appliquée aux trois candidats restants et à préférences individuelles inchangées, fournisse le classement collectif A, C et D (le même qu’avec quatre candidats, mais avec B en moins).

Or il n’en est rien :

Votant 1 : A > C > D, soit : 1 pour A, 2 pour C et 3 pour D.

Votant 2 : D > A > C, soit : 2 pour A, 3 pour C et 1 pour D.

Votant 3 : C > A > D, soit : 2 pour A, 1 pour C et 3 pour D.

Votant 4 : C > A > D, soit : 2 pour A, 1 pour C et 3 pour D.

Votant 5 : C > A > D, soit : 2 pour A, 1 pour C et 3 pour D.

Ce qui donne :

Rang moyen A = (1+2+2+2+2)/5=9/5=1,8.

Rang moyen C = (2+3+1+1+1)/5=8/5=1,6.

Rang moyen D = (3+1+3+3+3)/5=13/5=2,6.

Soit le classement collectif : C (1,6), puis A (1,8) et D (2,6).

On voit que C, qui arrivait deuxième après A lorsque B était encore dans la course, ravit le premier rang à A lorsque disparaît le candidat B. Et pourtant, l’ordre des préférences de chacun des cinq votants entre ces trois candidats A, C et D est demeuré inchangé. L’effacement de B a suffi à modifier l’ordre collectif produit par la meilleure méthode d’agrégation des choix individuels.

III – Peut-on déjouer la fatalité du paradoxe, en matière de choix démocratiques ?

La réponse, négative, est connue des spécialistes : c’est le théorème d’impossibilité d’Arrow. Dans sa formulation littéraire, ce théorème énonce qu’il n’existe pas de mode d’agrégation des préférences individuelles réunissant toutes les propriétés suivantes :

1. Universalité (elle détermine toujours un choix collectif, quelles que soient les préférences individuelles) ;

2. Non-dictature (il n’existe aucun individu dont les choix déterminent le choix collectif, indépendamment des préférences des autres) ;

3. Unanimité (lorsque les électeurs préfèrent tous une option à une autre, la fonction de choix collectif fait de même) ;

4. Transitivité (si la fonction de choix collectif classe A avant B et B avant C, elle doit classer A avant C) ;

5. Stabilité du classement des sous-ensembles (le classement collectif d’un ensemble d’options, les unes par rapport aux autres, ne doit pas se modifier lorsqu’on ajoute ou qu’on retranche une alternative).

Le théorème d’Arrow devrait être connu de tous : juristes, hommes politiques et simples citoyens, car il interroge les fondements mêmes de la démocratie.

Il doit conduire non au scepticisme, mais à la recherche lucide des moins mauvaises méthodes possibles pour choisir en commun, lorsque l’unanimité ou la construction d’un consensus s’avèrent impossibles.

Quelle pourrait être cette moins mauvaise méthode ? Le recours à la méthode de Borda pourrait en être une. Y a-t-il mieux ?

En fait, il existe bien d’autres méthodes d’agrégation des préférences individuelles que le vote uninominal majoritaire à deux tours et la méthode de Borda (éliminations successives, comparaison par paires, p premiers choix non pondérés, p premiers choix pondérés autrement que comme dans la méthode de Borda, etc.)6.

Des pays comme le Canada ou l’Irlande en pratiquent effectivement certaines (éliminations successives), y compris lors de primaires.

Elles recèlent toutes leur lot de paradoxes.

Et, surtout, elles produisent souvent un résultat différent pour un même ensemble de préférences individuelles. Voilà qui devrait donner le vertige au démocrate naïf qui, le peuple s’étant prononcé, considère comme accessoire, marginal ou secondaire l’effet spécifique du mode de scrutin.

La moins mauvaise méthode pour échapper aux rigueurs du théorème d’Arrow et conjurer la diablerie des paradoxes semble être à ce jour celle de la « mention majoritaire » proposée par Michel Balinski et Rida Laraki.

Est demandé à chaque votant d’attribuer à chaque candidat une mention (sur l’échelle : excellent, TB, B… passable, à rejeter) et non un rang. Puis on dresse le tableau des pourcentages totaux obtenus par chaque candidat par mention (dans l’ordre décroissant des mentions : d’« excellent » à « à rejeter »). La « mention majoritaire » d’un candidat est celle qui recueille le pourcentage cumulé (depuis « excellent ») de 50 %. C’est cette mention médiane qui classera les candidats. Ainsi, si le pourcentage des électeurs estimant un candidat excellent, très bon ou bon est de 51 %, sa mention majoritaire sera « bon ».

La méthode de Balinski-Laraki ratifie l’unanimité ou la ferveur majoritaire (si un candidat est classé par la majorité des électeurs au moins comme très bon, sa mention majoritaire est « très bon ») ; elle tient compte des opinions de chacun sur les divers candidats ; elle assure que la préférence collective entre deux candidats est indépendante des opinions relatives aux autres candidats ; elle n’offre guère prise aux votes manipulateurs et stratégiques ; elle améliore la cote collective du candidat dont la cote s’élève auprès de tous les votants. C’est beaucoup, même si elle peut produire des ex æquo7.

Conclusion

En théorie, le mode de scrutin présidentiel, comme celui des primaires et celui des députés, pourraient être avantageusement remplacés par des méthodes prenant en compte davantage que le premier choix de chaque électeur. Sans méconnaître les redoutables obstacles psychologiques (problèmes de compréhension, acceptation du vote électronique) et politiques (dans le cas de l’élection présidentielle il faudrait une révision de la Constitution) auxquels se heurterait cette proposition, nous préconisons un tour unique, avec application de la méthode de Borda – ou mieux encore de la mention majoritaire – et automatisation du recueil et du traitement des opinions individuelles.

Un test en vraie grandeur pourrait être réalisé, à titre expérimental (Constitution, art. 37-1), dans le cadre de l’élection des députés représentant les Français établis hors de France, puisque celui-ci se fait déjà en grande partie sur internet (C. élect., art. L. 330-13 et R. 176-3 à R. 176-3-10)8.

Notes de bas de pages

  • 1.
    C’est ainsi qu’un brillant éditorialiste dénonçait en mars 2007 un « putsch » des instituts de sondage à propos de résultats montrant que François Bayrou pouvait être à la fois éliminé au premier tour et préféré tant à Nicolas Sarkozy qu’à Ségolène Royal en cas de confrontation directe au second tour.
  • 2.
    Un indice de la liberté prise par le commentaire politique avec la logique élémentaire est l’assertion, souvent entendue la veille du scrutin de 2007, selon laquelle tel candidat extrémiste « doit absolument prendre part au premier tour, mais ne doit absolument pas figurer au second ».
  • 3.
    Ce qui aurait pu réduire de 12 à 8 le nombre de candidats en 2007, les parrainages manquants étant généralement recueillis en fin de période.
  • 4.
    La méthode de Borda ici illustrée suppose que chaque votant classe sans ex æquo l’intégralité des candidats en concurrence. On attribue alors le rang k (i, j) au candidat j classé au ke rang par le ie votant. Les rangs ainsi attribués par le ie votant vont de 1 à n s’il y a n candidats. Le rang total obtenu par chaque candidat j est la somme des rangs k (i, j) attribués à ce candidat par les votants i = 1,2 …. Le classement collectif se fait dans l’ordre décroissant de ces rangs totaux. C’est la méthode de Borda stricte.
  • 5.
    La méthode de Borda généralisée consiste à demander à chaque votant ses p premiers choix, p pouvant être inférieur (mais non supérieur) à n. Ainsi, pour p=2, le votant se borne à désigner ses deux premiers choix ; pour p=3 ses trois premiers choix ; pour p = n, on retrouve la méthode de Borda stricte ; pour p= 1, on revient au scrutin présidentiel actuel. Comment s’opère le calcul lorsque p C > D > B. Avec p=4, nous avions trouvé A > C > B > D. La limitation au recueil des deux premiers choix a conduit à inverser les candidats classés avant-dernier et dernier dans l’ordre collectif.
  • 6.
    Elle l’est en matière électorale dans certaines îles du Pacifique Sud (Benjamin Reilly, Social Choice in the South Seas : Electoral Innovation and the Borda Count in the Pacific Island Countries)… Et, noblesse oblige, à l’Académie des sciences française. Le Conseil constitutionnel l’a utilisée pour son concours de thèses…
  • 7.
    La plupart de ces méthodes se ramènent à la représentation géométrique suivante. Les n candidats sont les sommets d’un simplexe de dimension n-1 (triangle équilatéral pour n=3, tétraèdre régulier pour n=4). Chaque votant note les divers candidats (si on n’a que des rangs k (i, j) pour le votant i et les candidats j, la note sera n- k (i, j)). Le votant est représenté par le barycentre des sommets du simplexe affectés de ces notes. En normalisant les notes (même moyenne, même écart-type), le nuage des points représentant les votants se situe sur une hyper-sphère concentrique au simplexe. L’équidistance au centre des points représentant les électeurs assure l’égalité de traitement entre électeurs. Pour chaque point représentant un électeur, ses distances carrées aux sommets du simplexe sont proportionnelles aux notes que l’électeur a attribuées aux candidats. Le point représentatif du choix collectif est le centre de gravité du nuage. La distance au centre du point représentant la préférence collective mesure le degré de cohésion de l’électorat. Si les notes attribuées par un électeur se déduisent des rangs 1, 2, … n auxquels il classe les candidats, autrement dit pour la méthode de Borda, les points représentant les électeurs se situent sur une figure appelée permutoèdre, inscrite dans l’hypersphère. Chaque sommet du permutoèdre représente un ordre de classement différent (permutation) des candidats. Pour n=4, le permutoèdre comprend 24 sommets (les permutations de quatre objets), 14 faces (8 hexagonales et 6 carrées) et 36 arêtes.
  • 8.
    On se reportera, pour en savoir plus sur les travaux de MM. Balinski et Laraki, à la bibliographie fournie par Stéphane Cottin, infra, p. 26.
  • 9.
    Une simulation a été réalisée localement pour l’élection présidentielle de 2007 dans trois bureaux de vote de la ville d’Orsay (Essonne), proche du laboratoire de recherche de MM. Balinski et Laraki.
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